柯西，A．L．1789 年 8 月 21 日生于法国巴黎； 1857 年 5 月 22 日卒于法国斯科。数学家、数学物理学家、力学家。

柯西之父路易-弗朗索瓦，1760 年生于鲁昂，年轻时学习出色，1777 年获巴黎大学颁发的会考荣誉奖，毕业后任诺曼第最高法院律师，后任鲁昂总督 C．蒂鲁的秘书．1785年蒂鲁出任巴黎警察总监，弗朗索瓦成为他的首席幕僚．1794 年蒂鲁被处决，弗朗索瓦举家迁居阿尔居埃避风．1799 年雾月十八政变中，他积极支持拿破仑，于次年被新设的上议院选为负责起草会议纪要和执掌印玺的秘书，并安家于卢森堡宫。

弗朗索瓦亲自对长子柯西进行启蒙教育，教孩子语法、诗歌、历史、拉丁文 和古希腊文．弗朗索瓦与 P．S．拉普拉斯过从甚密，与 J．L．拉格朗日也交往颇多，所以柯西在童年时就接触到两位大数学家。 柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事情，在本上算数画图。这引起拉格朗日的注意．据说在1801 年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦办公室当着一些上议员的面说：“瞧这孩子！我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之．” 但他也告诫弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作。

1802 年秋，柯西就读于先贤祠中心学校，主要学习古代语言．在校两年中， 成绩优异，多次获奖．但他决心成为一名工程师．经过一年准备后，于1805年 秋考入综合工科学校；1807 年 10 月又以第一名的成绩为道路桥梁工程学校录取，并在 1809 年该校会考中获道桥和木桥大奖。

1810 年初，柯西被派往瑟堡，任监督拿破仑港工程的工程师助理。在他的行囊中，装有拉格朗日的《解析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》。年底，他被授予二级道桥工程师职务，其工作受到上级嘉奖，然而他把绝大部分业余时间用于钻研数学．在拉格朗日建议下，他研究了多面体，于 1811 年 2 月向法兰西研究院递交第一篇论文，证明了包括非凸情形在内，只存在 9 种正多面体．1812 年 1 月，又向巴黎科学院递交第二篇论文，证明具有刚性面的凸多面体必是刚性的．A．M．勒让德对两文极为欣赏．两个月后，柯西成为爱好科学协会通讯会员。

1812 年底，由于健康状况下降，柯西返回巴黎，不久向科学院递交了关于对称函数的论文．就在这时，他确定了自己的生活道路：终生献给“真理的探索” 即从事科学研究．1813 年 3 月，他被任命为乌尔克运河工程师．1814—1815 年 拿破仑一世的惨败中断了运河工程，使他有时间潜心研究．他在 1814 年向法兰 西研究院递交的论文中，有关于误差论的研究和标志他建立复变函数论起点的关 于定积分的研究．1815 年底，他以关于无限深流体表面波浪传播的论文获科学院数学大奖。

1815 年 7 月，路易十八重返巴黎．11 月，政府禁止 L．普安索在综合工科学校授课；12 月初，宣布由柯西以替补教授名义接任普安索，讲授数学分析．1816 年 3 月，王室发布了重组法兰西研究院和巴黎科学院的敕令，清洗了 一批院士，L．卡诺和 G．蒙日也在其中；同时柯西被国王任命为力学部院士．9月被任命为综合工科学校分析学和力学正式教授，为一年级新生讲授数学分析。

柯西在综合工科学校的教学内容，集中体现在他写的《分析教程第一编·代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何学中的应用教程》(1826) 和《微分学教程》(1829)中．这些论著首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础．1823 年，他出任巴黎理学院力学副教授，代替 S．D．泊松讲授力学；1824 年底出任法兰西学院代理教授，代替 J．B．比奥讲授数学物理． 这些教学工作都持续到1830 年． 柯西同时积极参加科学活动，经常出席科学院每周一召开的公开会议，在纯粹与应用数学的各种委员会中起重要作用．他在波旁王朝复辟时期写了大约100 篇论文或注记．1826 年起，他独自编辑出版定期刊物《数学演习》，专门发表自己的论著．

1830 年 7 月革命再次推翻了波旁王朝，奥尔良公爵路易-菲力浦即位．一直激烈反对自由派的柯西，把此事看作国家的灾难．综合工科学校学生在起义中离开校园，率领民众战斗，对柯西刺激很大．内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令，而保王党人(柯西也在其中)认为宣誓就是背叛．起义中发生的一些暴烈行为，使柯西愤慨．所有这些因素，促使柯西下定决心离开法国。

柯西先去瑞士的弗里堡，试图筹建瑞士科学院，但未成功．1831年夏迁居都灵，10 月在拉格朗日组建的都灵科学院露面．次年初撒丁国王特为柯西在都灵大学重设高级物理即相当于数学物理的教席．在都灵期间，柯西主要从事教学工作． 1833 年 7 月，柯西前往布拉格，担任查理十世(路易十八之弟)之孙博尔多公爵的宫廷教师，每天讲授数学、物理和化学．他尽心尽力，甚至重新编写了算术与几何教本．但王子对数学缺乏兴趣，与柯西关系不甚融洽．1838 年 10 月，公爵年届 18，教育告一段落，柯西在家人和朋友劝说下重返巴黎．查理十世授予他男爵封号，柯西对此十分看重。

宫廷教学使柯西研究进度放慢，他在布拉格以《数学新演习》为题继续出版他的《演习》，撰写了关于光和微分方程的一些论文，以石印形式在小范围内流传．回巴黎后，他首先去科学院， 发表了关于光的研究成果。

F．J．阿拉戈于 1836 年创办了《巴黎科学院通报》，使院士们能迅速发表成果．柯西充分利用这个有利条件， 几乎每周在《通报》上发表一篇论文或注记。不到 20 年，他在《通报》上发表了 589 篇文章．他的多产使科学院不得不限制其他人送交论文的篇幅不得超过4页．可是柯西还不满足，1839 年 9 月起又以《分析与数学物理演习》为题继续出版他的《演习》．1839 年 7 月，M．普鲁内的去世使天文事务所(与法兰西研究院齐名， 事实上的天文科学院)出现一个空缺．柯西于 11 月当选，但由于他拒绝向路易菲力浦宣誓效忠而未获任命书． 回巴黎后，柯西同耶稣会士一起，参与创建天主教学院，热衷于宣传天主教． 这使他与一些同事关系尴尬。

1843 年 5 月，柯西竞选由于 S．F．拉克鲁瓦逝世而空缺的法兰西学院数学教席，但得票极少，败于 G．利布里．年底在天文事务所新的几何学部委员选举中，他又败于他的对手普安索．这两次失利对他是沉重的打击． 他开始离群索居，但仍勤奋工作．1848 年 2 月革命后，宣誓不再成为任命的障碍．1849 年 3 月，柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授．1850 年 6 月，利布里被缺席判处10年徒刑，法兰西学院又出现空缺教席．柯西再次竞选，败于 J．刘维尔． 1851 年 12 月政变后，新政权要求公职人员宣誓效忠．柯西仍不妥协，致使他在理学院的教学工作停止一年多．1853 年，拿破仑三世同意柯西可以例外， 使他得以重登理学院讲坛，直至去世．1848 年后，他的发表节奏放慢，1853 年停止出版《演习》；但继续审读论文，并从事宗教活动．1857 年 5 月 12 日，柯西患重感冒，21 日病情突然恶化，次日与世长辞，享年68岁． 除巴黎科学院外，柯西还是 18 个科学院或著名学术团体的成员，其中有英国皇家学会、柏林科学院、彼得堡科学院、爱丁堡皇家学会、斯德哥尔摩科学院、 哥本哈根皇家科学学会、格丁根皇家科学学会、波士顿科学院等。

数学分析严格化的开拓者

分析严格化的需要

18 世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到， 分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求 澄清基本概念，阐明基本原理． 已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯批评 J．L．达 朗贝尔关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”．N．H．阿贝尔说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述 4 个教材中为数学分析建立了一 个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服 的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致”。

极限与无穷小

柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定 值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继 取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”从字面上看， 柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进。在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题。其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这 类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限， 而把重点放在变量具有极限时的性态． 最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。

函数及其连续性

柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系， 即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一 变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的 该自变量的一些函数”。 他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性． 柯西给出了连续的严格定义：“函数 f(x)是处于两个指定界限之间的变量 x 的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值 x，差 f(x+a)-f(x)的数值随着 a 无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．” 在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想． 在柯西之前，B．波尔查诺于1817 年给出连续的定义，并利用上确界证明了介值定理．但他的工作在很长时间内未引起人们的注意．有人认为柯西读到了波尔查诺的著作，采用了他的思想，但故意不加声明．这种看法缺乏佐证材料。

微分学

柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号 y′或 f′(x)表示”。这表明他已用崭新的方式考虑问题．他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理．例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理，首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε，δ)的证明，由此推出拉格朗日中值定理．他还得到了“柯西中值定理”

柯西关于微分的一种定义也富有独创性．他称 f(x)的微分是“当变量α无 限趋于零而量 h 保持不变时方程

​的左端所收敛的极限”．柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性。他由自己的中值定理推导出洛必达法则．这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础。

积分学

18 世纪绝大多数数学家摒弃 G．W．莱布尼茨关于积分是无穷小量 的无穷和的说法，只把积分看作微分之逆。柯西则不同，他假定函数 f(x)在区间[x0，X]上连续，用分点 x1，x2，…，xn-1把该区间划分为 n 个不必相同的部分， 作和

​并证明(实际上隐含地用了“一致连续性”)“当各个部分长度变得非常小而数n非常大时，分法对S的值只产生微乎其微的影响”，因而当各个部分长度无限减小时S具有极限，它“只依赖于 f(x)的形式和变量 x 的端值 x0，X0．这个极限就是我们所说的定积分．”这样，他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性．他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般 情形也适用．他给出了现在通用的广义积分的定义． 柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式．他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式． 柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存 在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点。

级数论

柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家．他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定 义收敛级数之和．18 世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确 地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论．他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性．对于正项级数，他 严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；他还推出一些

​影响

在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系．他的分析教程成为严格分析诞生的起点．无怪乎阿贝尔在1826 年说，柯西的书应当为“每一个在数学研究中热爱严谨性的分析学家研 读”．柯西的级数论对拉普拉斯的触动是众所周知的：后者读了柯西的论文后， 赶快逐一检查他在《天体力学》中所用的级数．柯西对 P．G．L．狄利克雷、G．F．B．黎曼和 K．魏尔斯特拉斯都有直接影响。

缺陷

柯西没有系统使用ε-δ方法，通常更多依赖“充分接近”、“要多小就有多小”这类比较模糊的语言，未能区别逐点收敛与一致收敛(但晚年时已有所觉察)、逐点连续与一致连续，有时不能恰当处理累次极限，因而出现了一些错误的断言及“证明”。例如：连续函数项收敛级数具有连续和并可逐项积分；多元函数对每个自变量分别连续则整体连续；函数 f(x，y)在过点(x0、y0)的每条直 线上取到极大值则它在该点取到极大值．柯西在证明一些定理时，实际上用了实数系的完备性，例如有界单调数列必收敛，但就像在谈到收敛准则充分性时那样，他认为这些都是不言自明的，未能意识到建立实数理论的必要性． 总之，柯西在分析的严格化方面做出了卓越贡献，但尚未完成分析的算术化。

复变函数论的奠基人

19 世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作。

复函数与复幂级数

《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把 建立复变函数论作为分析的一项重要工程．他以形式方法引进复数(“虚表示 式”)，定义其基本运算，得到这些运算的性质。他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性． 柯西利用实级数定义复值级数的收敛性并证明了一些收敛判别

​指数函数和三角函数，并讨论了对数函数和反三角函数的多值性．他利用函数方 程求出了复二项级数之和．在很长时间中，柯西坚持对复数的形式看法．1847 年，他提出用同余等价观念看待复数。

复积分

柯西写于1814 年的关于定积分的论文(发表于 1827 年)是他创立复变函数 论的第一步．他在文中批评欧拉、拉普拉斯、泊松和勒让德都用了“基于实过渡到虚的归纳法，……这类方法，即使在使用时十分谨慎，多方限制，仍然使证明显得欠缺”。他宣布自己的目标是“用直接的严格的分析方法建立从实到虚的移植”．文中给出了所谓柯西-黎曼方程(实际上达朗贝尔于1752 年，欧拉于 1776 年即已写出这个方程组；柯西于1841年得到了这个方程组的极坐标形式)；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念 并计算了许多广义积分． 柯西写于1825 年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作．奇怪的是他本人似乎没有充分看出此文的价值，生前一直未发表．文

​

​应当指出，高斯于 1811 年致 F．W．贝塞尔的一封信中已表述了积 分定理，称它为“一条非常美妙的定理”，说他“将在适当时候给出它的一个不难的证明”，但他一直没有发表． 柯西于 1831 年得到关于圆的积分公式

​由此证明复函数可局部展开为幂级数，并在实际上指明了后者的收敛半径是原点到所给函数最近极点之间的距离．他还得到了所得幂级数通项和余项的估计式，后来发展为他独创的“强函数法”。

残数演算

术语“残数”首次出现于柯西在 1826 年写的一篇论文中． 他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函 数，适合于确定定积分值的各种公式，大批级数尤其是周期级数的求和．具有有 限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分，拉格朗日级数或其他类似级数，代数或超越方程的解，等等．” 他给出了 m 阶极点 x1 处的残数公式。

​他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理

​其中E表示“提取残数”即求 f(z)在区域内所有极点处残数之和．他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数 2πi。

1843 年，柯西向科学院递交了很多短论，表明残数演算可用于椭圆函数论． 次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后，柯西立即指出它可以 从残数理论推出并可推广到一般情形．1855 年，他证明了

​其中 Z(z)是在区域 S 中只有孤立极点的函数，积分沿S 的边界，N，P 分别 为 Z(z)在 S 中零点和极点的个数．他对残数演算的兴趣终生不减，去世前三月还发表题为《残数新理论》的论文．残数演算很快引起了同时代数学家的注意，越出了法国国界．1834与1837 年在意大利和英国分别出现了有关的综述．M．P．H．洛朗于 1865 年出版了专著《残数理论》．俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю．索霍茨基1868 年发表的关于残数及其应用的学位论文。

复变函数论的建立

柯西对复变函数的研究也有不足．首先，对于这一理论的对象，他一直未能明确界定，实际上未能明确建立作为复可微性的解析性概念．其次，他没有区分孤立奇点的不同类型，只注意了极点．最后，他没有区别极点和分支点，未能认识多值函数的本质．在法国，洛朗、刘维尔、V．皮瑟和 C．埃尔米特紧接着进行了许多研究．C．A．布里奥和 J－C．布凯于1859 年出版了《双周期函数论》，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成． J．H．庞加莱在谈论复变函数论的四位奠基人——高斯、柯西、 黎曼和魏尔斯特拉斯时说：“柯西早于后两位，并为他们指明了道路．” E．皮卡在比较高斯与柯西对这一领域的贡献时说：“人们不大可能认为高斯没有抓住高度重要的事物；然而，忠于他的‘少而精’的格言，他无疑一直在等待以使他的作品更加成熟，而柯西这时却公布了自己的发现．因而应当把柯西看作这一开辟了远大前程的理论的真正奠基人”。

弹性力学理论基础的建立者

柯西之前的研究

18 世纪，理性力学迅速发展，成为微积分学应用的一个特殊领域． 1788 年，拉格朗日的《分析力学》出版．书中不借助几何图形，只从虚位移原理出发推导出全部质点系力学．W．R．哈密顿曾说这本书是“科学诗篇”．在 1811年的增订第 2 版中，拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统，进一步研究了连续固体和流体力学．在此之前，欧拉已建立了流体力学基本方程组．但在当时，固体力学还局限于不可变形的物 体． 19 世纪初，数学家们开始研究弹性面的平衡和运动．S．热尔曼和泊松于 1815 年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程．稍后，C． L．M．H．纳维尔于1820年向科学院递交了引人注目的论文，应用拉格朗日和 J．B．J．傅里叶的分析方法，研究有负载的弹性板在不忽略其厚度时的微小变形．但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开， 假定前者总沿它所作用的截面的法向，而这在一般情况下是不成立的．他于 1821 年写的论文，使用了分子模型，是弹性论中极富创造性的研究，但此文直到 1827 年才发表。

当时应力和应变概念尚未建立，其特性更未得到数量刻画．由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。柯西于1822 —1830 年间发表的一系列论文，使用连续物质和应力-应变模型，成功地解决了这些问题． 应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力．他认为，对物体内任一闭曲面 S，在研究 S 的外部对内部的作用时，可以忽略物体各部分的相互体力，等价地用定义在 S上的应力场来代替．这可使计算大为简化，并为实验证实．由于欧拉已有类似想法，所以现代称它为欧拉-柯西应力原理。

​

​在点 P 取所有可能的截面，沿法向取长度为σvn的向径，则其端点构成一个二次曲面，现称为柯西应力二次曲面．在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向 的截面上，应力垂直于截面．这就是柯西引入的主应力．以这 3 个轴作为坐标轴， 应力矩阵成为对角矩阵．于是，求一点处的应力状态归结为求3个主应力。

应变与几何方程

​应力与应变之间的关系

对于微小变形，柯西假定主应力分别沿主应变方向．起初他考虑各向同性情形，此时 3 个主应力与主应变成等比例，由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式，其中有两个常数．后来他进而研究各向异性情形，此时用ε线性表示σ的公式中有81个分量即 81个弹性常数．由对称性，他推出其中只有 36 个是独立的．这些公式是胡克定律的推广，现在通称为广义胡克定律。

弹性体运动和平衡方程

在1828 年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到

​他还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程．总之，柯西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础，成为 19 世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表。